在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 满足 $\dfrac 1{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}=\dfrac{2}{\cos C} $，则 $ \cos C$ 的最大值是________．
已知函数 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+|x|},x\in\mathbb R$，区间 $M=[a,b]$，集合 $N=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$．若 $M=N$，则 $b-a$ 的值是________．
设 $x,y,z$ 为非负实数，满足 $x+y+z=1$，则 $\dfrac1{2+x^2}+\dfrac1{2+y^2}+\dfrac1{2+z^2}$ 的取值范围是______．
在面积为 $2$ 的平行四边形 $ABCD$ 中，点 $P$ 为直线 $AD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+BC^2$ 的最小值是______．
已知曲线 $E:\dfrac1x+\dfrac{2\sqrt2}y=1$（$x,y>0$），则曲线 $E$ 上的点到原点距离的最小值为_______．
已知单位向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，设向量 $\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，其中 $x,y\in\mathbb R$，若 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1$，则 $x+2y$ 的取值范围为________．
已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为 ______．
已知实数 $a,b\in(0,1)$ 且 $ab=\dfrac14$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为______．
已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $E,F$ 分别在边 $BC$ 与 $CD$ 上（包含端点），且 $\angle EAF=45^\circ$，则 $\sqrt{BE^2+DF^2}$ 的取值范围是 ______．
