题拍拍征解问题[13](已解决)

『3820992』已知等边六边形的三对对边分别平行,且三组对边之间的距离分别为 $192,195,237$,则此六边形的面积为_______.

2020年11月8日,兰琦提供.

解析

过 $A$ 作 $BC$ 的平行线,过 $C$ 作 $DE$ 的平行线,设 $P$ 为两条平行线的交点,连接 $PE$.由于 $ABCP$ 为菱形,于是 $PA=PC$,因此 $PC$ 与 $ED$ 平行且相等,$PA$ 与 $EF$ 平行且相等,因此 $PCDE,PEFA$ 均为菱形,如图.

记 $h_1=d(FA,CD)=192$,$h_2=d(BC,EF)=195$,$h_3=d(CD,Fa)=237$,等边六边形的每条边长均为 $a$,则六边形 $ABCDEF$ 的面积\[\begin{split} S&=[ABCP]+[CDEP]+[EFAP]\\ &=\dfrac {[ABCP]+[CDEF]}2+\dfrac{[CDEF]+[EFAP]}2+\dfrac{[EFAP]+[ABCP]}2\\ &=\dfrac 12a(h_1+h_2+h3),\end{split}\]设 $\angle ABC=\angle DEF=\alpha$,$\angle BCD=\angle EFA=\beta$,$\angle EFA=\angle BCD=\gamma$,则\[h_3=BC\sin\angle BCP+CD\sin\angle PCD=a(\sin\alpha+\sin\beta),\]类似的,有\[\begin{split} h_1=a(\sin\beta+\sin\gamma),\\ h_2=a(\sin\gamma+\sin\alpha),\end{split}\]于是\[\begin{cases} \sin\alpha=\dfrac{h_2+h_3-h_1}a=\dfrac{240}{a},\\ \sin\beta=\dfrac{h_3+h_1-h_2}a=\dfrac{234}a,\\ \sin\gamma=\dfrac{h_1+h_2-h_3}a=\dfrac{150}a,\end{cases}\]于是 $\alpha,\beta,\gamma$ 是边长为 $240,234,150$ 的三角形的各边对应内角的补角,因此\[|\cos\alpha|=\dfrac{234^2+150^2-240^2}{2\cdot 234\cdot 150}=\dfrac 7{25}\implies \sin\alpha=\dfrac{24}{25}\implies a=125,\]从而\[S=\dfrac 12a(h_1+h_2+h_3)=\dfrac 12\cdot 125\cdot 624=39000.\]

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