Math173

已知圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的封闭区域内（含边界）整点数的 $\dfrac 1 5$，则正实数 $a$ 的取值范围是______．

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已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^2-2x+2=0$ 和 $x^2+2mx+1=0$ 的四个不同的根，在复平面上对应的点共圆，则 $m$ 的取值范围是_______．

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在正 $2018$ 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色．求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数．

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按要求作答：

1、求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$．

2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$，使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立？\[x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)\]试证明你的结论．

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把 $1,2,\cdots,n^2$ 按照顺时针螺旋方式排成 $n$ 行 $n$ 列的表格 $T_n$，第一行是 $1,2,\cdots,n,$ 例如\[T_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&9&4\\7&6&5\end{bmatrix}.\]设 $2018$ 在 $T_{100}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，则 $\left(i,j\right)=$_______．

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设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$，则 $\cos\angle AHB =$ _______．

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在边长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一小球，该小球与正方体的对角线 $AC_1$ 相切，则小球半径的最大值为_______．

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函数 $f(x)=\left|\sin\left(2x\right)+\sin\left(3x\right)+\sin\left(4x\right)\right|$ 的最小正周期为_______．

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证明：

1、$\dfrac 1{2^k} + \dfrac 1{2^k+1} + \dfrac 1{2^k+2} + \dots +\dfrac 1{2^{k+1}-1} <1$（$k \geqslant 2$，$k \in \mathbb N^{\ast}$）．

2、分别以 $1,\dfrac 12,\dfrac 13,\cdots,\dfrac 1n,\cdots$ 为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为 $\dfrac 32$ 的正方形内．

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已知椭圆 $C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 2}2$，直线 $y=2x-1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert=\dfrac {8\sqrt5}9$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$（斜率不为零）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E,F$，求 $\triangle OME$ 与 $\triangle OMF$ 的面积之比 $\lambda$ 的取值范围．

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