已知 $x{\rm e}^x-\ln x-ax\geqslant 1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知 $x\in\mathbb R$，解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$．
已知 $n$ 是奇数，且 $a_k=k=a_{n-k+1}$，$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$，则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______．
过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______．
设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\dfrac{\pi}9$，前 $8$ 项和为 $6\pi$，记 $\tan\dfrac{\pi}9=k$，则数列 $\{\tan a_n\cdot\tan a_{n+1}\}$ 的前 $7$ 项和为（ ）
A．$\dfrac{7k^2-3}{k^2-1}$
B．$\dfrac{3-7k^2}{k^2-1}$
C．$\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}$
D．$\dfrac{7k^2-11}{k^2-1}$
已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_n+\dfrac{1}{x_{n+1}}=2\cos\dfrac{133\pi}{355}$，则使得 $x_n=1$ 的最小正整数为_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点，$BH\perp AC$ 于 $H$，若 $\angle ABH=\angle DBC$，求证：$\angle ABC$ 为直角．
已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$．
