每日一题[1142]方方正正

已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$,点 $E,F$ 分别在边 $BC$ 与 $CD$ 上(包含端点),且 $\angle EAF=45^\circ$,则 $\sqrt{BE^2+DF^2}$ 的取值范围是 ______.


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正确答案是$\left[2-\sqrt 2,1\right]$.

分析与解 如图,将 $\triangle ADF$ 旋转到 $\triangle ABG$,则 $\triangle AGE$ 与 $\triangle AFE$ 全等.
因此题中条件转化为 $BE,DF\in [0,1]$,且\[(1-BE)^2+(1-DF)^2=(BE+DF)^2,\]也即\[BE+DE+BE\cdot DF=1,\]于是\[1\leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac{BE^2+DF^2}2}+\dfrac{BE^2+DF^2}2,\]解得\[\sqrt{BE^2+DF^2}\geqslant 2-\sqrt 2,\]等号当 $BE=DF=\sqrt 2-1$ 时取得.因此 $\sqrt{BE^2+DF^2}$ 的最小值为 $2-\sqrt 2$.

另一方面,有\[\sqrt{BE^2+DF^2}\leqslant BE+DF \leqslant 1,\]等号当 $BE=0$ 或 $DF=0$ 时取得.因此 $\sqrt{BE^2+DF^2}$ 的最大值为 $1$.

结合连续性可知所求代数式的取值范围是 $\left[2-\sqrt 2,1\right]$.

 本题也可以设角度,利用三角函数知识求解,但计算量较大.

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