每日一题[1143]代数式的最值

已知实数 $a,b\in(0,1)$ 且 $ab=\dfrac14$,则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为______.


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正确答案是$4+\dfrac{4\sqrt2}{3}$.

分析与解 法一 根据题意,有\[\begin{split}m=&\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}\\=&\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\=&\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1},\end{split}\]其中 $a\in\left(\dfrac 14,1\right)$.令 $1-a=x$,$4a-1=y$,则\[a=\dfrac{x+y}3,1=\dfrac{4x+y}3,\]因此\[\begin{split}m=&\dfrac{4x+y}{3x}+\dfrac{8(x+y)}{3y}\\=&4+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{8x}{3y}\\\geqslant& 4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}\]等号当 $y=2\sqrt 2x$,即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得.因此所求代数式的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$.

法二 根据题意,有\[\begin{split} m&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}\\&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\&=\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\&=2+\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}\\&\geqslant 2+\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)^2}{3}\\&=4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2}{4-4a}=\dfrac{\sqrt 2}{4a-1},\]即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得.因此所求的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$.

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