每日一题[1144]三元最值

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$,则 $xy+2xz$ 的最大值为 ______.


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正确答案是$\dfrac{\sqrt3}{3}$.

分析与解 法一 根据题意,有\[x^2=(1-z)^2-y^2=(1-z-y)(1-z+y),\]于是\[\begin{split} xy+2xz&=x(y+2z)\\&=\sqrt{(1-z-y)(1-z+y)\cdot(y+2z)^2}\\&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\&\leqslant\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}
\]等号当\[3-3z-3y=1-z+y=y+2z,\]即\[(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13\right)\]时取得,因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$.

法二 根据题意,有\[\begin{split}1&=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(\dfrac34+\dfrac14\right)}+z\\&\geqslant\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12y+z\\&=\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac{y+2z}2\\&\geqslant\sqrt{\sqrt3x(y+2z)},\end{split}\]因此\[xy+2xz=x(y+2z)\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\]等号当\[ \begin{cases} x=\sqrt{3}y,\\ \sqrt3x=y+2z,\end{cases} \]即 $(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac 13\right)$ 时取得,因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$.

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