已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-9=xy$，则 $2x^2+y^2$ 的最大值为_______．
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每日一题[1955]辅助公式
已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足：$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为_______．
每日一题[1954]捆绑插空
$15$ 把椅子排成一排，有 $8$ 个同学坐着，其中甲、乙相邻，丙、丁相邻，其余的各不相邻，两端的椅子没人坐，则不同的安排方法数为______．
每日一题[1953]阿圆
已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $c\cos B+b\cos(A+B)=0$，$BD$ 是 $AC$ 边上的中线，且 $BD=1$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值是_______．
每日一题[1952]余弦定理的向量形式
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=4$，$CD=2$，$DA=3$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$ _______．
每日一题[1951]扩大差异
设正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，对任意正整数 $n$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^3}$．数列 $\{b_n\}$ 满足对任意正整数 $n$，$b_n=a_n\cdot a_{n+1}$．记数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．
1、若对任意正整数 $n$ 均有 $\dfrac{S_n}{n}\geqslant\lambda$，求实数 $\lambda$ 的最大值．
2、若 $a=1$，记数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：对任意正整数 $n$，$S_n-T_n\leqslant \sqrt n$．
每日一题[1950]三角与解析
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)$，$c=5$，且 $\triangle ABC$ 的外心、重心分别为 $O,G$，则 $OG$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2-1$
B．$\dfrac{5\sqrt 2-5}6$
C．$\sqrt 2+1$
D．$\dfrac{10-5\sqrt 2}6$
每日一题[1949]引参加强
已知函数 $f(x)=x\ln x$．
1、若函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}-\dfrac 1x$，求 $g(x)$ 的极值．
2、证明：$f(x)+1<{\rm e}^x-x^2$．
每日一题[1948]三角换元
已知双曲线 $C_1:x^2-y^2=1$，曲线 $C_2:\dfrac xy+\dfrac yx=x^2-y^2$，则曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数是[[nn]]，原点 $O$ 与曲线 $C_2$ 上的点之间的距离的最小值为_______．