已知 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点，点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $C$ 上．若 $x_1+x_2=\dfrac 12$，且 $\overrightarrow{AF_2}=\lambda \overrightarrow{F_2B}$，求 $\lambda$ 的值．
对正整数 $n$，设 $x_n$ 是关于 $x$ 的方程 $nx^3+2x-n=0$ 的实数根，记 $a_n=\big[(n+1)x_n\big]$（$n=2,3,\cdots$）（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则 $\dfrac 1{1005}(a_2+a_3+a_4+\cdots +a_{2011})=$ _______．
有 $5$ 个乒乓球，其中有 $3$ 个是新球，$2$ 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次比赛，都拿其中的 $2$ 个球用，用完后全部放回．设第二次比赛时取到新球的个数为 $\xi$，则 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _______．
已知正整数 $x,y,z$ 满足条件 $xyz=(14-x)(14-y)(14-z)$，且 $x+y+z<28$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最大值为_______．
正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点．
1、证明：$AB_{1}\parallel BDC_{1}$．
2、当 $\dfrac{AA_{1}}{AB}$ 取何值时，$AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 垂直？
甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分；当其中一人的得分比另一人的多 $2$ 分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过 $20$ 次，即经 $20$ 次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为 $p$（$0<p<1$），乙获胜的概率为 $q=1-p$．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经 $\xi$ 次结束，求 $\xi$ 的期望 $E(\xi)$ 的变化范围．
已知方程 $|x-2n|=k\sqrt x$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）在区间 $(2n-1,2n+1]$ 上有两个不相等的实数解，则 $k$ 的取值范围是（ ）
A．$(0,+\infty)$
B．$\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$
C．$\left(\dfrac1{2n+1},\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right]$
D．以上答案均不正确
设 $0<a<b$，过两定点 $A(a,0)$ 和 $B(b,0)$ 分别引直线 $l$ 和 $m$，使之与抛物线 $y^2=x$ 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线 $l$ 与 $m$ 的交点 $P$ 的轨迹．
三棱锥 $S-ABC$ 中，侧棱 $SA,SB,SC$ 两两垂直，$M$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$D$ 为 $AB$ 的中点，作与 $SC$ 平行的直线 $DP$．
1、求证：$DP$ 与 $SM$ 相交．
2、求证：设 $DP$ 与 $SM$ 的交点为 $D'$，则 $D'$ 为三棱锥 $S-ABC$ 的外接球的球心．
用一些卡片打印三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 $198$ 倒过来看是 $861$；有的卡片则不然，如 $531$．因此有些卡片可以一卡两用，欲使 $900$ 个三位数都可以用这些卡片表示，那么至少需要打印_______张卡片．\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \text{倒置}&0&1&-&-&-&-&9&-&8&6\\ \hline\end{array}\]
