每日一题[1948]三角换元

已知双曲线 $C_1:x^2-y^2=1$,曲线 $C_2:\dfrac xy+\dfrac yx=x^2-y^2$,则曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数是[[nn]],原点 $O$ 与曲线 $C_2$ 上的点之间的距离的最小值为_______.

答案    $0$;$2$;

解析    由于 $\dfrac xy+\dfrac yx\in(-\infty,-2]\cup [2,+\infty)$,因此曲线 $C_1,C_2$ 的交点个数为 $0$.设 $C_2$ 上一点为 $(\theta:r)$($r>0$),则\[\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\implies r^2=\dfrac{4}{\sin4\theta}\geqslant 4,\]当 $\theta=\dfrac{\pi}8$ 时等号成立,因此 $r$ 的最小值为 $2$. 

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