每日一题[1956]引入参数

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-9=xy$,则 $2x^2+y^2$ 的最大值为_______.

答案    $18+6\sqrt 3$.

解析    根据题意,$x^2+y^2-xy=9$,于是有\[\dfrac{2x^2+y^2}9=\dfrac{2x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}=\dfrac{2t^2+1}{t^2+1-t},\]其中 $t=\dfrac xy$,设右侧代数式为 $m$,整理得\[(m-2)t^2-mt+m-1=0,\]判别式\[\Delta=m^2-4(m-2)(m-1)=-3m^2+12m-8\geqslant 0\implies \dfrac{6-2\sqrt 3}2\leqslant m\leqslant \dfrac{6+2\sqrt 3}3 ,\]因此所求代数式的最大值为 $9\cdot \dfrac{6+2\sqrt 3}3 =18+6\sqrt 3$.

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每日一题[1956]引入参数》有2条回应

  1. prayer17说:

    加一句,即便有了答案,我也看不懂。为什么(2X²+Y²)/(x^2+y^2-xy)=(2t²+1)/(t^2+1-t)

  2. prayer17说:

    如果没有答案,我一题也不会做,已经丢了好些年了,再拾起来好难

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