Math173

设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足\[\begin{cases} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4},\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_3}+\dfrac 1{a_4}+\dfrac 1{a_5}\right)=S,\end{cases}\]其中 $S$ 为实数且 $|S|\leqslant 2$．求证：复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

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设双曲线 $xy=1$ 的两支为 $C_1,C_2$，其中 $C_1$ 位于第一象限，$C_2$ 位于第三象限，正 $\triangle PQR$ 的三顶点位于此双曲线上．

1、求证：$P,Q,R$ 不能都在双曲线的同一支上．

2、设 $P(-1,-1)$ 在 $C_2$ 上，$Q,R$ 在 $C_1$ 上，求顶点 $Q,R$ 的坐标．

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设 $f(x)=x^2-\pi x$，$\alpha=\arcsin\dfrac 13$，$\beta=\arctan\dfrac 54$，$\gamma=\arccos\left(-\dfrac 13\right)$，$\delta=\mathop{\rm arccot}\left(-\dfrac 54\right)$，则（       ）

A．$f(\alpha)>f(\beta)>f(\delta)>f(\gamma)$

B．$f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$

C．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\beta)>f(\gamma)$

D．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\gamma)>f(\beta)$

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已知抛物线 $y^2=2px$ 及定点 $A(a,b)$，$B(-a,0)$（$ab\ne 0$，$b^2\ne 2pa$），$M$ 是抛物线上的点，设直线 $AM,BM$ 与抛物线的另一交点分别为 $M_1,M_2$，求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要 $M_1,M_2$ 存在且 $M_1\ne M_2$），直线 $M_1M_2$ 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

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已知当 $x\in[0,1]$ 时，不等式 $x^2\cos\theta-x(1-x)+(1-x)^2\sin\theta>0$ 恒成立，试求 $\theta$ 的取值范围．

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设曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a$ 为正的常数）与 $C_2:y^2=2(x+m)$ 在 $x$ 轴上方有一个公共点 $P$．

1、求实数 $m$ 的取值范围（用 $a$ 表示）．

2、$O$ 为原点，若 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$，当 $0<a<\dfrac 12$ 时，试求 $\triangle OAP$ 的面积的最大值（用 $a$ 表示）．

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设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a,b,c\in\mathbb R$，$a\ne 0$）满足条件：

① 当 $x\in\mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$，且 $f(x)\geqslant x$；

② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \left(\dfrac{x+1}2\right)^2$；

③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．

求最大的 $m$，使得存在 $t\in\mathbb R$，只要 $x\in[1,m]$，就有 $f(x+t)\leqslant x$．

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若 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $|x|-|y|$ 的最小值为_______．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定三点 $A\left(0,\dfrac 43\right)$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是该点到直线 $AB,AC$ 的距离的等比中项．

1、求点 $P$ 的轨迹方程．

2、若直线 $l$ 经过 $\triangle ABC$ 的内心（设为 $D$），且与点 $P$ 的轨迹恰好有 $3$ 个公共点，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

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设 $f(x)=x^2+a$，记 $f^{1}(x)=f(x)$，$f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$（$n=2,3,\cdots$），$M$ 为使得对任意正整数 $n$ 均有 $\left|f^{(n)}(0)\right|\leqslant 2$ 成立的实数 $a$ 的取值集合．求证：$M=\left[-2,\dfrac 14\right]$．

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