每日一题[1947]数值估计

已知函数 $f(x)=a\tan x-{\rm e}^x-2a$($a\in \mathbb R$).

1、当 $a=1$ 时,求函数 $f(x)$ 的图象在 $x=0$ 处的切线方程.

2、求证:${\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}< \dfrac{2\sqrt 3}3+1$.

解析

1、当 $a=1$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-{\rm e}^x,\]于是在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=-3$.

2、在 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上,考虑函数 $g(x)=(1+\tan x){\rm e}^{-x}$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{\tan x(\tan x-1)}{{\rm e}^x},\]因此可得在该区间上 ${\rm e}^x-1>\tan x$,于是\[{\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}<\dfrac{1}{\tan \dfrac{\pi}{12}+1}=\dfrac{3+\sqrt 3}6.\]而在 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上,有\[\dfrac{1}{1-\tan x}>\dfrac 1{1-x}>{\rm e}^x,\]于是\[{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{1}{1-\tan\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt 3+1}2,\]因此\[{\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{3+\sqrt 3}6+\dfrac{\sqrt 3+1}2=\dfrac{2\sqrt 3}3+1,\]命题得证.

备注    事实上,由 ${\rm e}^{\frac{\pi}{12}}<\dfrac{\sqrt 3+1}2$,结合 $y=x+\dfrac 1x$ 的单调性,可得\[{\rm e}^{\frac{\pi}{12}}+{\rm e}^{-\frac{\pi}{12}}<\dfrac{\sqrt 3+1}2+\dfrac{2}{\sqrt 3+1}<\dfrac{3\sqrt 3-1}2<\dfrac{2\sqrt 3}3+1.\]

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