每日一题[1953]阿圆

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,且 $c\cos B+b\cos(A+B)=0$,$BD$ 是 $AC$ 边上的中线,且 $BD=1$,则 $\triangle ABC$ 面积的最大值是_______.

答案    $\dfrac 23$.

解析    根据题意,有\[c\cos B+b\cos(A+B)=0\implies c\cos B=b\cos C,\]根据正弦定理可得\[\sin C\cos B=\sin B\cos C\implies \tan C=\tan B\implies B=C,\]如图.

根据题意,有 $\dfrac{AB}{AD}=2$,根据阿波罗尼斯圆的性质,点 $A$ 的轨迹是圆,记圆心为 $O$,半径为 $r$,则\[\dfrac{BO}{r}=\dfrac{r}{DO}=2\implies l=BO-DO=r\left(2-\dfrac 12\right)\implies r=\dfrac23,\]从而 $\triangle ABD$ 面积的最大值为 $\dfrac 12\cdot BD\cdot r=\dfrac 13$,进而 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac 23$.

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