每日一题[1955]辅助公式

已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足:$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$,则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为_______.

答案    $a_n=\dfrac1{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$($n\in\mathbb N^{\ast}$)

解析    易知 $a_1=\dfrac12$,当 $n\geqslant 2$ 时,有\[S_n=\dfrac{1}{4^n\cdot a_n}\implies a_n=S_{n}-S_{n-1}=\dfrac1{4^n\cdot a_n}-\dfrac1{4^{n-1}\cdot a_{n-1}},\]于是\[a_{n-1}=\dfrac{4a_n}{1-4^n\cdot a_n^2}\iff 2^{n-1}a_{n-1}=\dfrac{2\cdot 2^na_n}{1-(2^n\cdot a_n)^2},\]设 $2^na_n=\tan\theta_{n}$,其中 $\theta_n\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$,则\[\tan\theta_{n-1}=\tan2\theta_{n}\implies \theta_n=\dfrac12\theta_{n-1}\implies \theta_n=\dfrac{\pi}{2^{n+1}},n\in\mathbb N^\ast,\]故 $a_n=\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$,$n\in\mathbb N^\ast$.

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