每日一题[1950]三角与解析

在 $\triangle ABC$ 中,内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$,若 $a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)$,$c=5$,且 $\triangle ABC$ 的外心、重心分别为 $O,G$,则 $OG$ 的最小值为(       )

A.$\sqrt 2-1$

B.$\dfrac{5\sqrt 2-5}6$

C.$\sqrt 2+1$

D.$\dfrac{10-5\sqrt 2}6$

答案    D.

解析    根据题意,有\[a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)\iff a=c(\sin B+\cos B),\]应用正弦定理可得\[\sin(B+C)=\sin C\sin B+\sin C\cos B\iff \cos C=\sin C,\]于是 $C=\dfrac{\pi}4$.因此 $\angle AOB=2\angle ACB=\dfrac{\pi}2$. 建立平面直角坐标系 $O-AB$,且记 $OA=r$,则 $A(r,0)$,$B(0,r)$,$C(r\cos\theta,r\sin\theta)$,且 $\theta\notin \left[0,\dfrac{\pi}2\right]$,此时\[OG=r\sqrt{\left(\dfrac{1+\cos\theta}3\right)^2+\left(\dfrac{1+\sin\theta}3\right)^2}=\dfrac r3\sqrt{3+2\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)}\geqslant \dfrac r3\left(\sqrt 2-1\right),\]等号当 $\theta=-\dfrac{3\pi}4$ 时可以取得,因此所求最小值为 $\dfrac r3\left(\sqrt 2-1\right)$,在本题中 $r=\dfrac{5}{\sqrt 2}$,因此最小值为 $\dfrac{10-5\sqrt 2}6$.

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