每日一题[1949]引参加强

已知函数 $f(x)=x\ln x$.

1、若函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}-\dfrac 1x$,求 $g(x)$ 的极值.

2、证明:$f(x)+1<{\rm e}^x-x^2$.

解析

1、根据题意,有 $g(x)=\dfrac{\ln x-1}x$,其导函数\[g'(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2},\]于是函数 $g(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^2\right)$ 上单调递增,在 $\left({\rm e}^2,+\infty\right)$ 上单调递减,在 $x={\rm e}^2$ 处取得极大值 $g\left({\rm e}^2\right)={\rm e}^{-2}$.

2、由于 $\ln x\leqslant x-1$,考虑证明\[{\rm e}^x-x^2-1-x(x-1)>0\iff {\rm e}^x-1+x-2x^2>0,\]设 $h(x)={\rm e}^x-1+x-ax^2$,则其导函数\[h'(x)={\rm e}^x+1-2ax,\]令 $a=\dfrac{{\rm e}^2+1}4$,则 $h(x)$ 的最大值为\[h(2)={\rm e}^2-7>0,\]此时\[a=\dfrac{{\rm e}^2+1}4>2,\]因此命题得证.

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