已知函数 $f(x)=\sqrt{ax^2-ax+2}$，$g(x)=ax-a+2$，若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象恰有一个公共点，则 $a$ 的取值范围是_______．
已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，经过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于不同的两点 $A,B$，点 $O$ 为坐标原点，直线 $OA$ 交抛物线的准线于点 $C$．
1、证明：直线 $BC\parallel x$ 轴．
2、若点 $Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $\dfrac{2}{|FQ|^2}=\dfrac{1}{|FA|^2}+\dfrac{1}{|FB|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$．若存在 $x_1\in (0,+\infty)$，$x_2\in\mathbb R$，使得 $f(x_1)=g(x_2)=k$（$k<0$）成立，则 $\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k$ 的最大值为（ ）
A．${\rm e}^2$
B．${\rm e}$
C．$\dfrac4{{\rm e}^2}$
D．$\dfrac1{{\rm e}^2}$
已知函数 $f(x)=a(\ln x-x^2)-(a^2-2)x$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若存在实数 $x_1,x_2$，使 $f(x_1)\cdot f(x_2)<0$，求实数 $a$ 的范围．
设 $a$ 是实数，关于 $z$ 的方程 $\left(z^2-2z+5\right)\left(z^2+2az+1\right)=0$ 有 $4$ 个互不相等的根，它们在复平面上对应的 $4$ 个点共圆，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
边长为 $2$ 的正方形，经如图所示的方式剪裁后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为_______．
如图所示，分别作正四面体 $P-ABC$ 的平行于四个面的截面，使得 $P-ABC$ 的四个面都被截成正六边形，截去 $4$ 个小四面体后得到的多面体记为 $G$，则四面体 $P-ABC$ 与多面体 $G$ 的表面积比为_______；体积比为_______．
设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\ne 0$），前 $n$ 项和为 $S_n$，若数列 $\left\{\sqrt{8S_n+2n}\right\}$ 也是公差为 $d$ 的等差数列，则数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=$ _______．
已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分为 $a,b,c$，$b=1$，$c\sin A=2\sqrt 3\sin^2C$，则 $\dfrac{\sin C}{\sin B}$ 的最大值为（ ）
A．$2+\sqrt 3$
B．$2-\sqrt 3$
C．$3+\sqrt 2$
D．$3-\sqrt 2$
已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^{x}-\dfrac{a}{2}{\rm e}^{2 x}+a x$ 只有一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$
B．$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 13,+\infty\right)$
C．$(-\infty,0]$
D．$\left(-\infty,-\dfrac 13\right]\cup\left[0,+\infty\right)$
