每日一题[2131]暗藏玄机

设实数 $a,b,c$ 满足 $a,b,c\geqslant 1$ 且 $ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$,则 $a,b,c$ 之间的大小关系是(       )

A.$a>b>c$

B.$a=b=c$

C.$a<b<c$

D.不能比较大小

答案    B.

解析    题中等式可以变形为$$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}+\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 32,$$而 $\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac 14-\left(\dfrac 1c-\dfrac 12\right)^2}\leqslant \dfrac 12$,所以只能有$$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 12,$$解得 $a=b=c=2$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论