每日一题[2123]隐零点参数

已知函数 $f(x)=\dfrac 12ax^2-ax+\ln x$($a\in\mathbb R$).

1、若 $a<0$,判断 $f(x)$ 的单调性.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,且 $x_1<x_2$,当 $a<{\rm e}^2$ 时,求证:\[f(x_1)-f(x_2)<\dfrac 12{\rm e}^2-2.\]

解析

1、若 $a<0$,则函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{ax^2-ax+1}x,\]设 $g(x)=ax^2-ax+1$,则 $g(0)=1>0$,且 $g(x)$ 是开口向下的抛物线,因此函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点\[x_0=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4a}}{2a},\]且函数 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递增,在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递减.

2、根据题意,有 $4<a<{\rm e}^2$,且 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程\[ax^2-ax+1=0\]的两根.而\[\begin{split} x_1+x_2&=1,\\ x_2-x_1&=\dfrac{\sqrt{a^2-4a}}a,\\ \dfrac{\ln x_2-\ln x_1}{x_2-x_1}&>\dfrac{2}{x_1+x_2},\end{split}\] 此时\[\begin{split} f(x_1)-f(x_2)&=\dfrac 12a(x_1-x_2)(x_1+x_2)-a(x_1-x_2)-(\ln x_2-\ln x_1)\\ &<\dfrac 12a(x_1-x_2)-a(x_1-x_2)-2(x_2-x_1)\\ &=\dfrac{a-4}2(x_2-x_1)\\ &=\dfrac{a-4}2\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-4a}}a\\ &=\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)},\end{split}\]右侧关于 $a$ 的函数单调递增,因此\[\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)}<\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)}\Bigg|_{a={\rm e}^2}=\dfrac{{\rm e}^2-4}{2}\cdot \sqrt{1-\dfrac{4}{{\rm e}^2}}<\dfrac 12{\rm e}^2-2,\]因此命题得证.

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