已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$，$|A B|=6$，$|A C|=8$，$\overrightarrow{A O}=\alpha \overrightarrow{A B}+\beta \overrightarrow{A C}$（$\alpha, \beta \in \mathbb R$），若 $\sin ^{2} A \cdot\left(t \alpha+\beta-\dfrac{1}{2}\right)$（$t$ 为实数）有最小值，则参数 $t$ 的取值范围是_______．
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$ b>0$）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向一条渐进线作垂线，交双曲线右支于点 $P$，直线 $F_{2} P$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$（$P, Q$ 在 $x$ 轴同侧），连接 $Q F_{1}$，若 $\triangle P Q F_{1}$ 的内切圆圆心恰好落在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上，则 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的大小为[[nn]]；双曲线的离心率 $e$ 为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{ax+\left|\ln (x-b)\right|}{a+1}$（$x>b$，$a,b>0$）．
1、求函数 $f(x)$ 的最小值．
2、若数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\left|\ln \left(x_n-\dfrac 12\right)\right|+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$，且对任意正整数 $n$，$x_n\ne \dfrac 12$，求证：$x_1+x_2+\cdots+x_{2021}\geqslant 1010+\dfrac{2020}{\sqrt {\rm e}}$．
已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，椭圆上的两点 $M,N$（非椭圆顶点）满足 $\angle MON=90^\circ$ 且 $\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}=\dfrac 32$．
1、求椭圆方程．
2、不平行于 $y$ 轴的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，$F$ 为椭圆的右焦点，直线 $PF$ 与 $QF$ 的斜率互为相反数时，直线 $PQ$ 是否过定点？若过，求出该定点；若不过，请说明理由．
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=90^\circ$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$\angle BAD=2\angle C$，$BC=12$，$CD=8$，则 $AB=$ _______．
已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足：$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为_______．
$15$ 把椅子排成一排，有 $8$ 个同学坐着，其中甲、乙相邻，丙、丁相邻，其余的各不相邻，两端的椅子没人坐，则不同的安排方法数为______．
已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $c\cos B+b\cos(A+B)=0$，$BD$ 是 $AC$ 边上的中线，且 $BD=1$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值是_______．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=4$，$CD=2$，$DA=3$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$ _______．
