已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $(m,n)=1$，求证：\[(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1,x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)=1.\]
解析 若 $m=n$，则 $m=n=1$，命题成立，因此不妨设 $m>n$．题中命题即\[(x^m-1,x^n-1)=x-1.\]事实上，若 $a>b$（$a,b\in\mathbb N^{\ast}$），则有\[(x^a-1,x^b-1)=(x^a-x^b,x^b-1)=\big(x^b(x^{a-b}-1),x^b-1\big)=(x^{a-b}-1,x^b-1),\]这就意味着（类比于求两数最大公约数的辗转相减法）\[(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1=x-1,\]命题得证．