每日一题[2127]糖葫芦

已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle C=90^\circ$,$\angle A=60^\circ$,$AC=4$,圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆,作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切,且与 $AC,AB$ 相切,设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$,且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$,则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______.

答案  $9\left(2-\sqrt 3\right)\pi$.

解析    如图,设 $O_1,O_2$ 在 $AC$ 上的投影分别为 $H_1,H_2$.

记圆 $O_1,O_2$ 的半径分别为 $r_1,r_2$,则注意到 $\angle CAO_1=\dfrac 12\angle A=30^\circ$,且\[O_1O_2=r_1+r_2,\]于是\[\triangle AO_1H1\sim\triangle AO_2H_2\implies \dfrac{AO_1}{AO_1-O_1O_2}=\dfrac{O_1H_1}{O_2H_2}\implies \dfrac{2r_1}{2r_1-(r_1+r_2)}=\dfrac{r_1}{r_2}\implies r_2=\dfrac 13r_1,\]同理,设圆 $O_n$ 的半径为 $r_n$,则\[r_{n+1}=\dfrac13r_n\implies r_n=\dfrac 1{3^{n-1}}r_1\implies S_n=\dfrac{1}{9^{n-1}}S_1,\]从而\[\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=\dfrac{S_1}{1-\dfrac 19}=\dfrac 98S_1=\dfrac{9\pi r_1^2}8,\]而\[r_1=\dfrac{2\cdot [ABC]}{AB+BC+CA}=\dfrac{16\sqrt 3}{4+4\sqrt 3+8}=2\sqrt 3-2,\]因此所求值为 $9\left(2-\sqrt 3\right)\pi$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论