每日一题[2130]和差化积

观察下列等式:

① $ \cos 2{\alpha} =2 \cos ^2 {\alpha} -1 $;

② $ \cos 4{\alpha} =8 \cos ^4 {\alpha} -8 \cos ^2 {\alpha} +1 $;

③ $ \cos 6{\alpha} =32 \cos ^6 {\alpha} -48 \cos ^4 {\alpha} +18 \cos ^2 {\alpha} -1 $;

④ $ \cos 8{\alpha} = 128 \cos ^8{\alpha} -256\cos ^6 {\alpha} +160 \cos ^4 {\alpha} -32 \cos ^2 {\alpha} +1 $;

⑤ $ \cos 10{\alpha} =m\cos ^{10}{\alpha} -1280 \cos ^8{\alpha} +1120\cos ^6 {\alpha} +n\cos ^4 {\alpha} +p \cos ^2 {\alpha} -1 $.

可以推测,$ m-n+p= $_______.

答案    $962$.

解析    经观察,$ \cos {\alpha} $ 的最高次的系数分别为 $ 2^1 $,$2^3 $,$ 2^5 $,$ 2^7 $,故 $m=2^9=512 $;$\cos ^2\alpha$ 项的系数分别为 $ 1\times2 $,$-2\times4 $,$3\times6 $,$ -4\times8 $,故 $p=5\times 10=50 $;又每个展开式中的系数和为 $ 1 $(令 $\alpha=0$ 即得);故 $ 512-1280+1120+n+50-1=1 $,$ n=-400 $,从而\[m-n+p=962.\]

备注    事实上,有\[\cos 8\alpha\cos2\alpha=\dfrac {\cos10\alpha+\cos 6\alpha}2,\]于是\[\cos 10\alpha=2\cos 8\alpha\cos2\alpha-\cos6\alpha,\]展开可得\[m=512,\quad n=2(-160-64)-(-48)=-400,\quad p=2(32+2)-18=50,\]从而\[m-n+p=962.\]

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