每日一题[2132]恰到好处

已知 $x,y,z$ 是非负实数,且 $x+y+z=2$,则 $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz$ 的最大值为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$\dfrac 54$

D.以上答案都不对

答案    A.

解析    设题中代数式为 $m$,则\[\begin{split} 2m&=\sum_{\rm cyc}\left(2x^2y^2\right)+2xyz\\ &\leqslant \sum_{\rm cyc}\left(xy(x^2+y^2)\right)+2xyz\\ &=\sum_{\rm cyc}xy\sum_{\rm cyc}x^2-\sum_{\rm cyc}(xyz^2)+2xyz\\ &=\dfrac 12\sum_{\rm cyc}(2xy)\sum_{\rm cyc}x^2\\ &\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac{\sum_{\rm cyc}(2xy)+\sum_{\rm cyc}x^2}2\right)^2\\ &=2,\end{split}\]等号当 $(x,y,z)=(1,1,0)_{\rm cyc}$ 时取得,因此所求 $m$ 的最大值为 $1$.

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