Math173

设 $f$ 是 $\mathbb R^+\to \mathbb R^+$ 的函数，对任意的正实数 $x$，$f(3x)=3f(x)$，且当 $x\in (1,3]$ 时，$f(x)=1-|x-2|$，设 $a$ 是最小实数 $x$ 使得 $f(x)=2020$，$b$ 是 $(1,a)$ 之间使得 $f(x)=3$ 的实数 $x$ 的个数，则下列选项正确的有（       ）

A．$a=4207$

B．$a=4205$

C．$b=12$

D．$b=10$

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某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：数学有 $21$ 人获得优秀，物理 $19$ 人，化学 $20$ 人，数学物理都优秀 $9$ 人，物理化学都优秀 $7$ 人，化学数学都优秀 $8$ 人．另外，这个班有 $5$ 人任何一科都不优秀，则下列选项中正确的有

A．仅有物理一科优秀的最少有 $4$ 人

B．仅有数学一科优秀的最多有 $11$ 人

C．仅有化学一科优秀的最少有 $5$ 人

D．这个班可能有 $40$ 个人

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已知复数 $z$ 满足 ${\rm Re}(z^2)=8$，则下列式子中可能成立的有（       ）

A．$\arg z=\dfrac{\pi}3$

B．$|z|=5$

C．$|z-4|=1$

D．$|z-1|=2$

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已知实数 $a,b,c,d,e$，满足\[\begin{cases} a+b+c+d+e=8,\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,\end{cases}\]则 $e$ 的取值范围是（       ）

A．$[-2,2]$

B．$[0,1]$

C．$[0,2)$

D．以上答案都不对

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设 $S=\{1,2,3,\cdots,2020\}$，如果 $S$ 中任意两个两两互质的数组成的集合中至少有一个质数，集合元素的个数 $n$ 的最小值为（       ）

A．$15$

B．$16$

C．$17$

D．$18$

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正六棱柱的 $12$ 个顶点的任意 $2$ 个顶点所在直线中，异面直线的对数为（       ）

A．$1125$

B．$1278$

C．$1350$

D．$1542$

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在空间中，过点 $A$ 作平面 $\pi$ 的垂线，垂足为 $B$，记 $B=f_{\pi}(A)$，设 $\alpha,\beta$ 是两个不同的平面，对空间任意一点 $P$，$Q_1=f_{\beta}\big(f_{\alpha}(P)\big)$，$Q_2=f_{\alpha}\big(f_{\beta}(P)\big)$，恒有 $PQ_1=PQ_2$，则（       ）

A．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直

B．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $45^\circ$

C．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行

D．平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $60^\circ$

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对前 $n$ 个正整数用 $k$ 种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设 $k$ 的最大值为 $f(n)$，求证：\[{\log_3}n\leqslant f(n)\leqslant {\log_2}n+1.\]

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随机投掷三颗骰子，则下列说法正确的是（       ）

A．有两颗骰子之和为 $7$ 的概率是 $\dfrac7{12}$

B．有两颗骰子之和为 $8$ 的概率是 $\dfrac{19}{54}$

C．所有骰子中最小值为 $2$ 的概率是 $\dfrac{65}{216}$

D．所有骰子中最小值为 $3$ 的概率是 $\dfrac{41}{216}$

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已知一圆锥曲面顶点 $S$，其母线与轴所成的角为 $30^\circ$，在轴线上取一点 $C$，使得 $SC=5$，通过点 $C$ 作一与轴线夹角为 $45^\circ$ 的截面，则截得的曲线方程可表示为（       ）

A．$x^2+2y^2=25$

B．$x^2+3y^2=50$

C．$2x^2+5y^2=50$

D．$2x^2+6y^2=75$

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