Math173

设 $P(x)=x^2-3x-7$, $Q(x)$ 和 $R(x)$ 均为二次项系数为 $1$ 的二次多项式. $\rm David$ 发现 $P(x)+Q(x),Q(x)+R(x),R(x)+P(x)$ 中的任意两个多项式均有一个公共根, 且这三个公共根各不相同. 若 $Q(0)=2$, $R(0)$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$, 则 $m+n=$ _______.

答案    $71$．

解析    设 $P(x)+Q(x)$ 与 $R(x)+P(x)$ 的公共根为 $p$, $P(x)+Q(x)$ 与 $Q(x)+R(x)$ 的公共根为 $q$, $Q(x)+R(x)$ 与 $R(x)+P(x)$ 的公共根为 $r$, 则\[\begin{cases} P(x)+Q(x)=2(x-p)(x-q),\\ Q(x)+R(x)=2(x-q)(x-r),\\ R(x)+P(x)=2(x-r)(x-p),\end{cases},\]于是\[ P(x)+Q(x)+R(x)=(x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p),\]进而\[\begin{split} P(x)&=P(x)+Q(x)+R(x)-(Q(x)+R(x))\\ &=(x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p)-2(x-q)(x-r)\\ &=x^2-2px+(pq+rp-qr),\end{split}\]类似可得\[\begin{split} Q(x)&=x^2-2qx+(pq+qr-rp),\\ R(x)&=x^2-2rx+(qr+rp-pq),\end{split}\]根据题意, 有\[\begin{cases} -2p=-3,\\pq+rp-qr=-7,\\ pq+qr-rp=2,\end{cases}\iff \begin{cases} p=\dfrac 32,\\ q=-\dfrac 53,\\ r=-\dfrac{27}{19},\end{cases}\]于是 $R(0)=qr+rp-pq=\dfrac{52}{19}$, 于是 $m+n=52+19=71$.

满足 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ 模 $n+5$ 余 $17$ 的所有正整数 $n$ 的和为_______.

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${\rm Ayako}$, $\rm Billy$, $\rm Carlos$, $\rm Dahlia$, $\rm Ehuang$, $\rm Frank$ 六个人按顺序坐在一排六把椅子上看演出. 表演中场, 他们离开去买了一些零食, 回来时按如下规则入座: 离开相邻的两人重新落座后都不相邻. 那么重新落座的不同方法数为_______.

答案    $090$．

解析    记六个人分别为 $A,B,C,D,E,F$. 用 $(MN)$ 表示 $M,N$ 相邻, 考虑用容斥原理, 列举如下\[\begin{array}{c|c|c}\hline \text{情形}&\text{方法数}&\text{符号}\\ \hline \text{全集}&6!=720&+\\ \hline (AB) + (BC) + (CD) + (DE) + (EF)&5\cdot(2\cdot 5!)=1200&-\\ \hline (AB)\cap(BC)+(AB)\cap(CD)+\cdots&4\cdot (2\cdot 4!)+6\cdot (2^2\cdot 4!)=768&+\\ \hline (AB)\cap(BC)\cap(CD)+(AB)\cap(BC)\cap(DE)+\cdots&3\cdot(2\cdot 3!)+6\cdot (2^2\cdot 3!)+2^3\cdot 3!=228&-\\ \hline (AB)\cap(BC)\cap(CD)\cap(DE)+\cdots&2\cdot (2\cdot 2!)+3\cdot (2^2\cdot 2!)=32&+\\ \hline (AB)\cap(BC)\cap(CD)\cap(DE)\cap(EF)&2&-\\ \hline \end{array}\] 因此所求排法数为\[720-1200+768-228+32-2=90.\]

已知函数 $f_1(x)=|x-1|$, 且 $f_n(x)=f_{n-1}(|x-n|)$ ($n>1$ 且 $n\in\mathbb N$), 则使 $f_n(x)$ 的所有零点之和大于 $500000$ 的 $n$ 的最小值为_______.

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两个全等的圆锥底面半径为 $3$, 高为 $8$. 这两个圆锥的对称轴垂直相交于两个圆锥内部一点, 且距各自底面距离均为 $3$. 这两个圆锥公共部分中有半径为 $r$ 的球, $r^2$ 的最大值的最简分数形式为 $\dfrac mn$, 则 $m+n=$ _______.

答案    $298$．

解析  根据题意, 当球与两个圆锥的侧面都相切时半径最大, 如图.

半径的最大值\[PM=\dfrac{OA\cdot PC}{AC}=\dfrac{OA\cdot (OC-OA)}{AC}=\dfrac{3\cdot \left(8-3\right)}{\sqrt{3^2+8^2}}=\dfrac{15}{\sqrt {73}},\]于是 $r^2$ 的最大值为 $\dfrac{225}{73}$, $m+n=225+73=298$.

已知数列 $\{t_n\}$ 满足 $t_1=20$, $t_2=21$, $t_{n}=\dfrac{5 t_{n-1}+1}{25 t_{n-2}}$ ($n\geqslant 3$). 若 $t_{2020}$ 的最简分数形式是 $\dfrac pq$, 则 $p+q=$_______.

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对于任意正整数 $n$, 令 $f(n)$ 为四进制下 $n$ 的各个数位之和, 令 $g(n)$ 为 $f(n)$ 的值在八进制下表示的各个数位之和. 例如, $f(2020)=f\left(133210_{(4)}\right)=10=12_{(8)}$, 于是 $g (2020)$ 为 $12$ 的各位数字之和, 为 $3$. 使 $ g (n) $ 在十六进制下不能仅用 $0$ 到 $9$ 来表示的最小的数字 $n$, 记作 $N$, 则 $ N $ 模 $1000$ 的余数是_______．

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已知集合 $P=\left\{(x, y) \mid (x-\cos \theta)^{2}+(y-\sin \theta)^{2}=4,0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right\}$．由集合 $P$ 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．

给出下列结论：

①“水滴”图形与 $y$ 轴相交，最高点记为 $A$，则点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$；

② 在集合 $P$ 中任取一点 $M$，则 $ M $ 到原点的距离的最大值为 $ 3$；

③ 阴影部分与 $y$ 轴相交，最高点和最低点分别记为 $C, D$，则 $|C D|=3+\sqrt{3}$；

④ 白色“水滴”图形的面积是 $\dfrac{11}{6} \pi-\sqrt{3}$．

其中正确的有_______．

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已知平面直角坐标系下直线 $l$ 过点 $D_0(0,3)$ 且斜率为 $3$，点 $D$ 在直线 $l$ 上运动．若以 $D(a,b)$ 为圆心，以 $\lambda\left(\dfrac 13a+b\right)$ 为半径的圆与曲线 $xy=6$ 的公共点个数不超过 $2$，则 $\lambda$ 的最大值为______．

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设 $D(n)$ 是将正整数 $n$ 写成形如\[n=f_1\cdot f_2\cdots f_k\]的写法数，其中 $k\geqslant 1$，$f_i$（$i=1,2,\cdots,k$）是大于 $1$ 的整数，且改变这些因子的顺序视为不同的写法，如 $6=6,2\cdot 3,3\cdot 2$，因此 $D(6)=3$，则 $D(96)=$（       ）

A．$112$

B．$128$

C．$144$

D．$172$

E．$184$

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