每日一题[2129]维恩图法

在一次竞赛中出 $A,B,C$ 三道题.

① 在所有参赛学生中共有 $30$ 人至少解出一道题;

② 仅对一题的学生中,解出 $C$ 题的人数占一半;

③ 解出 $A$ 题的学生人数等于仅解出 $B$ 题的学生人数;

④ 仅做对 $AB$ 的人数等于仅做对 $BC$ 的人数;

⑤ 仅做对 $A$ 的人数等于 $4$;

⑥ 同时仅做对 $AC$ 的人数是同时仅做对 $AB$ 人数的一半. 则同时解出 $ABC$ 的学生人数为_______.

答案    D.

解析  设只解出 $A,B,C$ 的人数分别为 $a,b,c$,同时解出 $AB,BC,CA$ 的人数分别为 $z,x,y$,同时解出 $ABC$ 的人数为 $w$,则\[\begin{cases} a+b+c+x+y+z+w=30,\\ c=a+b,\\ a+z+y+w=b,\\ z=x,\\ a=4,\\ 2y=x,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=\dfrac{26-x}3,\\ c=\dfrac{38-x}3,\\ y=\dfrac 12x,\\ z=x,\\ w=\dfrac{28-11x}6,\end{cases}\]于是 $x=2$,且 $w=1$,因此同时解出 $ABC$ 的学生人数为 $1$.

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每日一题[2129]维恩图法》有2条回应

  1. 意琦行说:

    哈哈,日常翻车...已更新,谢谢!

  2. louxin2020说:

    第三个方程有误,最后答案应该是1

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