每日一题[2128]考虑最值

已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$,任取 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$,$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$,$a_i+a_j\in A$,$a_j+a_k\in A$,$a_i+a_k\in A$ 中至少有一个成立,则 $n$ 的最大值为(       )

A.$3$

B.$5$

C.$7$

D.$9$

答案    C.

解析    不妨设 $a_1>a_2>\cdots>a_n$,若集合 $A$ 中的正数个数不小于 $4$,取 $(i,j,k)=(1,2,3)$,可得 $a_2+a_3=a_1$,取 $(i,j,k)=(1,2,4)$,可得 $a_2+a_4=a_1$,因此 $a_3=a_4$,矛盾.因此集合 $A$ 的正数至多有 $3$ 个,同理,集合 $A$ 中的负数至多有 $3$ 个.又考虑\[A=\{3,2,1,0,-1,-2,-3\}\]符合题意,因此 $n$ 的最大值为 $7$.

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