已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}-1$，求证：$$a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1}<\dfrac 12n+\dfrac 23.$$
已知函数$f(x)={\rm e}^x(x^2+ax+a)$．
（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；
（2）若关于$x$的不等式$f(x)\leqslant {\rm e}^{a}$在$[a,+\infty)$上有解，求实数$a$的取值范围；
（3）若曲线$y=f(x)$存在两条互相垂直的切线，求实数$a$的取值范围（只需直接写出结果）．
已知$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期为$2$的偶函数，且当$x\in [0,1]$时，$f(x)=x+1$，则方程$f^2(x)+f(x)=x$的根的个数为_______．
已知$A,B,C$是球$O$的球面上的三点，$\angle AOB=\angle AOC=45^\circ$，若三棱锥$O-ABC$体积的最大值为$\dfrac 23$，则球$O$的表面积为_______．
过点$P_0(x_0,y_0)$、倾斜角为$\theta$的直线的参数方程为$$\begin{cases} x=x_0+t\cos\theta,\\y=y_0+t\sin\theta,\end{cases}\theta\in[0,\pi).$$其中$t$表示点$P(x,y)$与$P_0$之间的有向线段的数量（有正负）．当$\overrightarrow {P_0P}$与$(\cos\theta,\sin\theta)$方向一致时$t$为正，方向相反时$t$为负． 继续阅读
解析几何中有一类问题是：求点$M(a,b)$关于直线$l:Ax+By+C=0$的对称点$N$．这类问题的常规思路是：通过$MN\perp l$且$MN$的中点在直线$l$上两个条件求解，计算量较大．当直线$l$的斜率为$\pm 1$时，坐标可以直接心算得到，结论如下： 继续阅读
我们知道，当$x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right) $时，$0<\sin x<x$而$\tan x>x>0$，那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢？
“每日一题[428] 谁是赢家”这篇文章给出了上述问题的解答．
类似的，我们知道，当$x>0$时，$\mathrm{e} ^x-1>x>0$而$0<\ln (1+x)<x$，那么$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)$与$x^2 $之间的大小关系如何呢？$\mathrm{e} ^x-1$与$\ln (1+x)$究竟谁主沉浮？请看下题：
已知$x>0$，求证：$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
设$a$为实数，若函数$y=\dfrac 1x$的图象上存在三个不同的点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$满足$$x_1+y_2=x_2+y_3=x_3+y_1=a,$$则$a$的值为_______．
