每日一题[530]单刀直入

设$a$为实数,若函数$y=\dfrac 1x$的图象上存在三个不同的点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$满足$$x_1+y_2=x_2+y_3=x_3+y_1=a,$$则$a$的值为_______.


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分析    条件即$$x_1+\dfrac{1}{x_2}=x_2+\dfrac{1}{x_3}=x_3+\dfrac{1}{x_1}=a.$$这里共有$4$个未知数,$3$个方程,可以考虑用消元的策略解决问题.

   根据条件,有$$x_3=\dfrac{ax_1-1}{x_1},$$从而$$x_2=a-\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{(a^2-1)x_1-a}{ax_1-1},$$进而由$x_1+\dfrac{1}{x_2}=a$可得$$x_1+\dfrac{ax_1-1}{(a^2-1)x_1-a}=a,$$整理得$$(a^2-1)(x_1^2+1-ax_1)=0,$$于是$$a=\pm 1 \lor a=x_1+\dfrac{1}{x_1}.$$

一方面,若$a=1$,取$x_1=-1$,则$x_3=2$,$x_2=\dfrac 12$,于是$a$可以取得$1$;类似的,当$x_1=1$,$x_3=-2$,$x_2=-\dfrac 12$时,$a$可以取得$-1$.

另一方面,若$a=x_1+\dfrac{1}{x_1}$,则$x_2=x_1$,与$A,B,C$是不同的三点矛盾.

综上所述,$a$的值为$\pm 1$.

拓展    若函数$y=\dfrac 1x$改成$y=\dfrac 3x$,那么$a$的值是多少?

答案    可以把新的问题看成是原来的坐标系中横坐标和纵坐标都扩大成原来的$\sqrt 3$倍的结果,因此$a$的值为$\pm \sqrt 3$.

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