直线的参数方程

过点$P_0(x_0,y_0)$、倾斜角为$\theta$的直线的参数方程为$$\begin{cases} x=x_0+t\cos\theta,\\y=y_0+t\sin\theta,\end{cases}\theta\in[0,\pi).$$其中$t$表示点$P(x,y)$与$P_0$之间的有向线段的数量(有正负).当$\overrightarrow {P_0P}$与$(\cos\theta,\sin\theta)$方向一致时$t$为正,方向相反时$t$为负.

屏幕快照 2016-06-02 上午11.46.10

当已知直线的方向向量为$(a,b)$时,直线的参数方程也可以直接写成$$\begin{cases} x=x_0+at,\\y=y_0+bt.\end{cases}$$此时,$t$的正负由向量$\overrightarrow {P_0P}$与方向向量的方向相同还是相反决定,且有$$|P_0P|=\sqrt{a^2+b^2}|t|.$$直线的参数方程在解决有某个共同起点的线段长度相关的问题中非常便捷.


例题一 求点$A(-2,-1)$关于直线$l:x+2y-2=0$的对称点$B$的坐标.

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分析与解 直线$l$的法向量为$(1,2)$,即为直线$AB$的方向向量,设$AB$的参数方程为$$\begin{cases} x=-2+t,\\y=-1+2t.\end{cases}$$代入直线$l$的方程得$$(-2+t)+2(-1+2t)-2=0,$$解得$t=\dfrac 65$.于是点$B$对应的参数$t_B=2\times \dfrac 65=\dfrac {12}{5}$,从而得$B$的坐标为$$\left(-2+\dfrac {12}{5},-1+2\times \dfrac {12}{5}\right )=\left(\dfrac 25,\dfrac {19}{5}\right ).$$


例题二 已知椭圆$C:\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$,直线$l$过点$B(-2,2)$交椭圆$C$于$M,N$两点.

(1)若直线$l$的倾斜角为$\dfrac {3\pi}{4}$,求$MN$的中点坐标及$|BM|\cdot|BN|$的值;

(2)求$|BM|\cdot|BN|$的范围.

分析与解 设直线$l$的参数方程为$$\begin{cases} x=-2+t,\\y=2+kt.\end{cases}$$代入椭圆方程整理得$$(4k^2+3)t^2+4(4k-3)t+16=0.$$设点$M,N$对应的参数分别为$t_1,t_2$,则有$$\begin{cases} t_1+t_2=\dfrac {4(3-4k)}{4k^2+3},\\t_1t_2=\dfrac{16}{4k^2+3}.\end{cases}$$于是$M,N$的中点对应的参数为$\dfrac{t_1+t_2}{2}$,且$$|BM|\cdot|BN|=(1+k^2)|t_1t_2|.$$

(1)倾斜角为$\dfrac {3\pi}{4}$时,$k=\tan\dfrac {3\pi}{4}=-1$,故$\dfrac {t_1+t_2}{2}=2$,对应的中点坐标为$(0,0)$,且$$|PM|\cdot|PN|=2|t_1t_2|=\dfrac {32}{7}.$$

(2)由分析知$$|BM|\cdot|BN|=\dfrac {16(k^2+1)}{4k^2+3}=4+\dfrac {1}{k^2+\frac 34}.$$由直线与椭圆有交点知联立方程的判别式大于零,即$$\Delta =16(4k-3)^2-64(4k^2+3)>0,$$解得$k<-\dfrac 18$.于是$$|BM|\cdot|BN|\in\left(4,\dfrac {260}{49}\right ).$$

 本题中的参数方程表示的直线斜率为$k$,不能表示斜率不存在的直线,在本题中直线$l$的斜率一定存在,否则对于斜率不存在的直线需要独立考虑,或者换一种参数方程形式.


最后给出一道练习:

已知椭圆$C:\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$,直线$l$过点$P(1,1)$与椭圆交于$M,N$两点.

(1)若$|PM|\cdot|PN|=\dfrac {10}{7}$,求直线$l$的斜率;

(2)求$|PM|\cdot|PN|$的取值范围.

答案 (1)$\pm 1$;

(2)$\left[\dfrac 54,\dfrac 53\right ]$.注意斜率不存在的直线.

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