设$a_1=1$，$a_2=8$，$a_{n+1}=a_{n-1}+\dfrac 4na_n$($n=2,3,\cdots $)．
（1）证明：存在$c>0$，使得$a_n\leqslant cn^2$($n=1,2,\cdots $)；
（2）证明：$\forall n\in \mathcal N^*,a_{n+1}-a_n\leqslant 4n+3$． 继续阅读
1、在直角三角形$ABC$中，斜边$AB=10$，$AC=6$，$P$是斜边$AB$上一点，$Q$是$BC$边上一点，且$\angle CPQ$为直角，则线段$CQ$长度的最小值是_______． 继续阅读
连续数集是一类常见的集合，连续数集的问题往往通过数轴表示法去解决，在含参的连续数集的关系与运算的问题中，需要特别注意的是端点往往需要单独作分析． 继续阅读
已知$A,B$分别是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的上顶点和下顶点，$F$为椭圆$E$的右焦点．过$F$作直线$l$分别与椭圆交于$C,D$，与$y$轴交于点$P$．直线$AC$和$BD$交于点$Q$，求证：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$为定值．
本试卷共4题，每题30分，满分120分，考试时间180分钟．
1、 已知锐角$\triangle ABC$中，$\angle B=60^\circ$，$P$为$AB$中点，$Q$为外接圆上弧$AC$(不包含点$B$)的中点，$H$为$\triangle ABC$的垂心．如果$P,H,Q$三点共线，求$\angle A$．
大自然中有很多精妙之处，比如蜂巢的结构可以使得蜜蜂用最少的材料造出最大的空间，比如光总是沿直线传播，即使在物体表面反射后，所走路线仍然是最短的．在数学中，最短距离问题往往可以通过某种对称，转化为两点之间的距离最短的问题．比如从初中开始，我们就很熟悉的这样的问题：已知点$A(2,2)$和点$B(-3,8)$，在$x$轴上求一点$M$，使得$|AM|+|BM|$取最小值． 继续阅读
设$a,b,c,d\in\mathcal R$，且$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$的最小值．
初中时，我们熟悉完全平方公式$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,$$与平方差公式$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$ 继续阅读
