特殊直线对称点的心算法

解析几何中有一类问题是:求点$M(a,b)$关于直线$l:Ax+By+C=0$的对称点$N$.这类问题的常规思路是:通过$MN\perp l$且$MN$的中点在直线$l$上两个条件求解,计算量较大.当直线$l$的斜率为$\pm 1$时,坐标可以直接心算得到,结论如下:

(1)点$M(a,b)$关于直线$l:x+y+m=0$的对称点为$N(-b-m,-a-m)$;

(2)点$M(a,b)$关于直线$l:x-y+m=0$的对称点为$N(b-m,a+m)$.

记忆方式

将点$M$的横坐标$x=a$代入直线$l$的方程中,解出的$y$值为对称点的纵坐标;将$M$的纵坐标$y=b$代入直线$l$的方程中,解出的$x$值为对称点的横坐标.

证明直接验证即可.

下面给出一个推导方法(以(1)为例):

过点$M$与直线$l$垂直的直线方程为$$l':x-y+b-a=0,$$联立$l,l'$可以求得交点坐标$$H\left(\dfrac {a-b-m}{2},\dfrac {b-a-m}{2}\right),$$而点$H$为$M,N$的中点,所以点$N$的坐标为$$(2x_H-a,2y_H-b)=(-b-m,-a-m).$$

利用这个结论我们可以快速给出下面例题一的答案:

例题一 点$A\left(\dfrac 12,\dfrac 32\right )$关于直线$l:x+y+2=0$的对称点$A_1$的坐标为_____;点$B(-2,1)$关于直线$m:3x-3y+2=0$的对称点$B_1$的坐标为_____.

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分析与解 直线$l$的斜率为$-1$,所以直接将$x=\dfrac 12$代入直线方程得$y=-\dfrac 52$;将$y=\dfrac 32$代入直线方程得$x=-\dfrac 72$,故$A_1\left(-\dfrac 72,-\dfrac 52\right )$;

直线$m$的斜率为$1$,当$x=-2$时,$y=-\dfrac 43$;当$y=1$时,$x=\dfrac 13$,所以$B_1\left(\dfrac 13,-\dfrac 43\right )$.


例题二 已知直线$l:y=x+3$.

(1)直线$2x+y-5=0$关于直线$l$的对称直线的方程为__________;

(2)圆$x^2+y^2-2x-3=0$关于直线$l$的对称圆的方程为_______.

分析与解 直线$l$的斜率为$1$.

(1)设$(a,b)$为所求直线上一点,则它关于$l$的对称点$(b-3,a+3)$在直线$2x+y-5=0$上,即$$2(b-3)+(a+3)-5=0,$$整理得$a+2b-8=0$,故所求的对称直线方程为$x+2y-8=0$.

(2)可以用与(1)相同的方法解决此问题,当$(a,b)$为所求圆上一点时,$(b-3,a+3)$在圆$x^2+y^2-2x-3=0$上,即$$(b-3)^2+(a+3)^2-2(b-3)-3=0,$$整理得$a^2+6a+b^2-8b+21=0$,故所求对称圆的方程为$$x^2+y^2+6x-8y+21=0.$$这个方法适用于求一般曲线$F(x,y)=0$关于直线的对称曲线.

对于圆来说,还可以利用圆的性质,通过求圆心的对称点来直接写出对称圆的方程,将圆化为标准方程$$(x-1)^2+y^2=4,$$圆心$(1,0)$关于直线$y=x+3$的对称点为$(-3,4)$,故所求圆的方程为$$(x+3)^2+(y-4)^2=4.$$


最后给出一道练习:

已知直线$l:x+y-2=0$,写出点$(3,5)$、直线$2x-y+3=0$、圆$x^2+y^2=1$关于$l$对称的点的坐标、直线的方程与圆的方程.

答案 $(-3,-1)$、$x-2y+5=0$、$(x-2)^2+(y-2)^2=1$.

注意 对于斜率不为$\pm 1$的直线,不能用这个方法.

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