设函数$f(x)=\dfrac{a^2+a\sin x+2}{a^2+a\cos x+2}$($x\in \mathcal R$)的最大值为$M(a)$，最小值为$m(a)$，则（ ）
A．$\forall a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=1$
B．$\forall a\in\mathcal R,M(a)+m(a)=2$
C．$\exists a\in \mathcal R,M(a)+m(a)=1$
D．$\exists a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=2$
给定正整数$n$，正六边形的六个顶点处各写有一个非负整数，其和为$n$．现在可以进行如下操作：擦掉一个顶点上的数，然后写上相邻两个顶点上的数的差的绝对值．求所有的$n$，使得无论开始时写有哪些整数，都可以进行一系列操作，使得每个顶点上的数都是$0$．
已知$A,B\in [0,\pi]$，则$\left[\sin A+\sin (A+B)\right]\cdot \sin B$的最大值是______．
继续阅读
一个数字生成器，生成规则如下：第$1$次生成一个数$x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数$x$生成两个数，一个是$-x$，另一个是$x+3$．设第$n$次生成的数的个数为$a_n$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=$_______；若$x=1$，前$n$次生成的所有数中不同的数的个数为$T_n$，则$T_n=$_______．
已知$f(x)=a\ln x+\dfrac{1-a}2x^2-x$，若存在$x\geqslant 1$，使得$f(x)<\dfrac a{a-1}$，则实数$a$的取值范围是______．
已知抛物线$y=x^2+bx+c$与坐标轴交于$A,B,C$三点．求证：$\triangle ABC$的外接圆恒过一定点$P$．
平面直角坐标系$xOy$中，点$A,B,C$的坐标分别为$(a,0),(0,a),(3,4)$，点$P(x,y)$是平面内的任意一点，记$M(a)=\max\{|PA|,|PB|,|PC|\}$，则$M(a)$的最小值是______．
1．平面直角坐标系$xOy$中有两定点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，分别过点$P$和点$Q$作直线$l_1,l_2$，且$l_1\perp l_2$，若直线$l_1$交$x$轴于点$A$，直线$l_2$交$y$轴于点$B$，求线段$AB$中点$M$的轨迹．
设$0<p\leqslant a,b,c,d,e\leqslant q$，求证：$$(a+b+c+d+e)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2.$$
