每日一题[532]船到桥头自然直

已知$a+b+c=1$,$a,b,c\geqslant 0$,求$(c-a)(c-b)$的取值范围.


cover     法一 所求代数式的最大值容易求出:$$(c-a)(c-b)\leqslant c^2\leqslant 1,$$等号当$a=b=0$,$c=1$时同时取得,因此所求代数式的最大值为$1$;

接下来研究最小值,此时$c$必然在$a,b$之间,不妨设$a\leqslant c\leqslant b$,则$$(c-a)(c-b)=-(c-a)(b-c).$$考虑用均值不等式$$-(c-a)(b-c)\geqslant -\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\geqslant -\dfrac 14,$$等号当$c-a=b-c$,$b=1$,$a=0$时取得,显然此时$a+b+c=\dfrac 32$,不符合题意.

分析失败原因,可知第一步均值不等式后代数式中还有两个变元,接下来会出现取等条件多于未知数个数的情形,因此可以作调整:$$-(c-a)(b-c)=-\dfrac 12\cdot (2c-2a)(b-c)\geqslant -\dfrac 12\left(\dfrac{b+c-2a}{2}\right)^2=-\dfrac {(1-3a)^2}{8}\geqslant -\dfrac 18,$$等号当$a=0$,$b=\dfrac 34$,$c=\dfrac 14$时取得.

综上,考虑到连续性,可得所求代数式的取值范围是$\left[-\dfrac 18,1\right]$.

法二(由大雨瓢泼提供)

由$a+b+c=1$得到$$(c-a)(c-b)=2c^2-c+ab.$$又由题意知$$0\leqslant ab=a(1-a-c)\leqslant \left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2,$$当$a=0$时第一个等号成立,当$a=\dfrac {1-c}{2}$时第二个等号成立.于是有$$(c-a)(c-b)\geqslant 2c^2-c=2\left(c-\dfrac 14\right )^2-\dfrac 18\geqslant -\dfrac 18,$$当$c=\dfrac 14$时取到等号;且$$(c-a)(c-b)\leqslant 2c^2-c+\left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2=\dfrac 94\left(c-\dfrac 13\right )^2\leqslant 1,$$当$c=1$时取到等号.

综上知$(c-a)(c-b)\in\left[-\dfrac 18,1\right ]$.

   也可以引入参数使用均值不等式.

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