每日一题[428]谁是赢家

我们知道，当$x$为锐角时，$\sin x<x$而$\tan x>x$，那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢？这是一道有趣的函数不等式证明题：

已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$．

证法一（meiyun提供）

记函数$f(x)=\sin x\cdot \tan x-x^2$，则当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时，其导函数\[\begin{split} f'(x)&=\dfrac{2\sin x\cos^2 x+\sin^3 x}{\cos ^2 x}-2x \\ &=\sin x\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}+1\right)-2x \\ &\geqslant \sin x\cdot \dfrac{2}{\cos x}-2x \\ &=2(\tan x -x) >0,\end{split} \]又$f(0)=0$，于是原不等式得证．

证法二（意琦行提供）

注意到当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时，有$$\sin x>x-\dfrac{x^3}6,$$以及$$\tan x > x+\dfrac{x^3}3,$$于是$$\sin x\cdot \tan x>x^2+\dfrac{x^4}6\left(1-\dfrac{x^2}3\right)>x^2,$$于是原不等式得证．

注    同学们可以试试它的升级版：

已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，证明：$\sin^2x\cdot \tan x>x^3$．

提示    考虑函数$$f(x)=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}-x^3,$$则$$f^{(4)}(x)=\dfrac{8\sin x(3-\cos^2 x-2\cos^6 x)}{\cos^5x}.$$

有趣的是，当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时，不等式$$\sin^3x\cdot \tan x>x^4$$不再恒成立，例如当$x=\dfrac{\pi}3$时，左边约为$1.125$，右边约为$1.202$．