每日一题[531]谁主沉浮

我们知道,当$x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right) $时,$0<\sin x<x$而$\tan x>x>0$,那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢?

“每日一题[428] 谁是赢家”这篇文章给出了上述问题的解答.

类似的,我们知道,当$x>0$时,$\mathrm{e} ^x-1>x>0$而$0<\ln (1+x)<x$,那么$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)$与$x^2 $之间的大小关系如何呢?$\mathrm{e} ^x-1$与$\ln (1+x)$究竟谁主沉浮?请看下题:

已知$x>0$,求证:$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $.


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方法一    令$f(x)=\dfrac{\ln (1+x)}{x} $,$x\in (0,+\infty)$,因为$$f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x+1}-\ln (1+x) }{x^2}<0, $$所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减.

注意到同底数的指对函数之间互为反函数的关系,我们有$$f\left(\mathrm{e} ^x-1\right)=\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1}. $$

再注意到,当$x>0$时,$\mathrm{e} ^x-1>x>\ln (1+x)>0$,故有$$f(x)>f\left(\mathrm{e} ^x-1\right),$$即$$\dfrac{\ln (1+x)}{x}>\dfrac{x}{\mathrm{e} ^x-1},  $$变形即得$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $.

方法二    易证,当$x>0$时,$$\mathrm{e} ^x-1>x+\dfrac{x^2}{2}>0,\ \ln(1+x)>\dfrac{2x }{x+2}>0,  $$所以\[\begin{split}\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)&>\left(x+\dfrac{x^2}{2} \right)\cdot \dfrac{2x}{x+2}\\&=\dfrac{x\left(x^2+2x\right) }{x+2}\\&=x^2. \end{split}  \]

   因为$x\in (-\infty,+\infty) $时,有$$\mathrm{e} ^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots,  $$所以当$x>0$时,有$$\mathrm{e} ^x-1>x+\dfrac{x^2}{2}>0.$$

因为$x\in (-1,1)$时,有$$\ln (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots   $$与$$\ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\cdots   $$同时成立,故$x\in (-1,1)$时,有$$\ln \dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots  \right) , $$所以若$x\in (0,1)$,则$$\ln \dfrac{1+x}{1-x}>2x.$$

令$t=\dfrac{1+x}{1-x},\ x\in (0,1)$,则$x=\dfrac{t-1}{t+1}, \ t \in (1,+\infty) $,此时有$$\ln t>\dfrac{2(t-1)}{t+1}, $$所以当$x>0$时,$$ \ln(1+x)>\dfrac{2x }{x+2}>0. $$

方法三    如图,

谁主沉浮

取点$A(x,0)(x>0)$,作直线$l$与$x$轴垂直,分别交函数$y=\ln{(1+x)},y=x,y=\mathrm{e} ^x-1$的图象于点$B,C,D$,设点$E$与点$D$关于直线$y=x$对称,则要证的结论等价于$$\left|AD\right|\cdot\left|AB\right|>\left|AC\right|^2.$$由于函数$y=\ln{(1+x)}$在其定义域$\left(-1,+\infty\right) $上凹,故$$\dfrac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\dfrac{\left|AB\right|}{\left|AO\right|} =\tan{\angle AOB}>\tan{\angle EOF}=\dfrac{\left|EF\right|}{\left|OF\right|}=\dfrac{\left|AC\right|}{\left|AD\right|},$$ 所以要证的结论成立.

最后给出一道练习:当$-1\leqslant x \leqslant 1$时,证明:$\sin{x}\cdot\arcsin{x}\geqslant x^2$.

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