Math173

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$．

1、证明：$a_{n+1}>a_n$；

2、设 $b_n=1-a_n$，是否存在实数 $M>0$，使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立？若存在，求出 $M$ 的一个值；若不存在，请说明理由．

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过椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）外一点 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$，切点分别为 $A,B$．过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M,N$，过 $M$ 作 $PB$ 的平行线与直线 $AB,NB$ 分别交于 $S,T$，求证：$SM=ST$．

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已知直线 $l:kx-y-k+1=0$，$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$．若对于任意的 $0<k<3$，总有 $x_1+x_2+x_3<3$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 与 $g(x)=\dfrac{k}{x^2}$ 图象的两个不同的交点，则 $f(x_1+x_2)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$

B．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},\dfrac{1}{\rm e}\right)$

C．$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$

D．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$

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已知 $M$ 是函数 $f(x)={\rm e}^{x^2-3x+\frac {13}4}-8\cos\dfrac{\pi (1-2x)}{2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的所有零点之和，则 $M$ 的值是（       ）

A．$3$

B．$6$

C．$9$

D．$12$

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已知正四面体 $P-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在棱 $PA,PB,PC$ 上，若 $PE\ne PF$，且 $DE=DF=\sqrt 7$，$EF=2$，则四面体 $P-DEF$ 的体积为[[nn]]．

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设 $f(x)=ax+b$，其中 $a,b$ 为实数，$f_1(x)=f(x)$，且 $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，若 $f_8(x)=256x-510$，则 $a+b$ 的值可能为（       ）

A．$0$

B．$2$

C．$4$

D．$-4$

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如图，一个无盖圆台容器的上、下底面半径分别为 $1$ 和 $2$，高为 $\sqrt 3$，四边形 $ABCD$ 是经过轴的截面，$AD,BC$ 是圆台的两条母线，一只蚂蚁从 $A$ 处沿容器侧面（含边沿线）爬到 $C$ 处，最短路程等于(       )

A．$2\sqrt 5$

B．$\pi+2$

C．$\dfrac{\pi}3+2\sqrt 3$

D．$\dfrac{4\pi}3+2\sqrt 3$

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若 $(1+x+x^2)^{1000}$ 的展开式为 $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2000}x^{2000}$，则 $a_0+a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{1998}$ 的值是（       ）

A．$3^{333}$

B．$3^{666}$

C．$3^{999}$

D．以上答案均不正确

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已知点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，且 $AB=3$，$AC=\sqrt{13}$，$\angle ABC=60^\circ$，则 $\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow{BC}=$ _______．

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