设 $f(x)=ax+b$，其中 $a,b$ 为实数，$f_1(x)=f(x)$，且 $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，若 $f_8(x)=256x-510$，则 $a+b$ 的值可能为（ ）
A．$0$
B．$2$
C．$4$
D．$-4$
答案 AC
解析 根据题意，有\[f_n(x)=a^n\cdot x+b(1+a+\cdots+a^{n-1}),\]即\[f_n(x)=a^n\cdot x+b\cdot \dfrac{1-a^n}{1-a},\]于是\[\begin{cases} a^n=256,\\ b\cdot \dfrac{1-a^n}{1-a}=-510,\end{cases}\]解得\[(a,b)=(2,-2),(-2,6),\]于是\[a+b=0,4.\]