每日一题[1227]迭代函数

设 $f(x)=ax+b$,其中 $a,b$ 为实数,$f_1(x)=f(x)$,且 $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$,$n\in\mathbb N^{\ast}$,若 $f_8(x)=256x-510$,则 $a+b$ 的值可能为(       )

A.$0$

B.$2$

C.$4$

D.$-4$

答案    AC

解析    根据题意,有\[f_n(x)=a^n\cdot x+b(1+a+\cdots+a^{n-1}),\]即\[f_n(x)=a^n\cdot x+b\cdot \dfrac{1-a^n}{1-a},\]于是\[\begin{cases} a^n=256,\\ b\cdot \dfrac{1-a^n}{1-a}=-510,\end{cases}\]解得\[(a,b)=(2,-2),(-2,6),\]于是\[a+b=0,4.\]

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