每日一题[1231]三次函数

已知直线 $l:kx-y-k+1=0$,$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$.若对于任意的 $0<k<3$,总有 $x_1+x_2+x_3<3$,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $[6,+\infty)$.

解析    不妨设 $x_1<x_2<x_3$,如图.

设直线 $l$ 与三次曲线\[y=x^3-3x^2+2x+1\]的三个交点横坐标分别为\[x_1,x_2,x_4,\]则\[x_1+x_2+x_3<x_1+x_2+x_4,\]于是\[x_3<x_4.\]而\[\{x_4\mid k\in (0,3)\}=\{x_4\mid 2<x_4<3\},\]设\[\varphi(x)=\dfrac{(x^3-3x^2+2x+1)-1}{x-2},2<x<3,\]即\[\varphi(x)=x(x-1),2<x<3,\]该函数在 $(2,3)$ 上单调递增,因此实数 $a$ 的取值范围是 $[6,+\infty)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论