每日一题[1233]积少成多

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$,$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$.

1、证明:$a_{n+1}>a_n$;

2、设 $b_n=1-a_n$,是否存在实数 $M>0$,使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立?若存在,求出 $M$ 的一个值;若不存在,请说明理由.

解析

1、我们熟知\[{\rm e}^x>x+1,x\ne 0,\]于是\[a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}>(a_n-1)+1=a_n,\]命题得证.

2、可以证明\[b_n\geqslant \dfrac{1}{n+1}.\]只需要证明\[a_n\leqslant \dfrac{n}{n+1}.\]事实上,利用数学归纳法可以证明该结论.

递推证明    \[a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}\leqslant {\rm e}^{-\frac{1}{n+1}},\]而\[\ln\dfrac{n+1}{n+2}>1-\dfrac{n+2}{n+1}=-\dfrac{1}{n+1},\]于是\[a_{n+1}\leqslant \dfrac{n+1}{n+2}.\]于是\[b_1+b_2+\cdots+b_n\geqslant \dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n> \ln(n+1)-\ln 2,\]因此不存在符合题意的 $M$.

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