每日一题[1229]严格论证

已知 $M$ 是函数 $f(x)={\rm e}^{x^2-3x+\frac {13}4}-8\cos\dfrac{\pi (1-2x)}{2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的所有零点之和,则 $M$ 的值是(       )

A.$3$

B.$6$

C.$9$

D.$12$

答案    B.

解析    设 $g(x)=f\left(x+\dfrac 32\right)$,则\[g(x)={\rm e}^{1+x^2}+8\cos \pi x.\]接下来研究 $g(x)$ 的零点分布,如图.

考虑方程\[\dfrac 18{\rm e}^{1+x^2}=-\cos(\pi x).\]

情形一    当 $x\leqslant -\dfrac 32$ 时,有\[\dfrac 18{\rm e}^{1+x^2}>1>-\cos(\pi x),\]于是方程无解.

情形二    当 $-\dfrac 32<x\leqslant -1$ 时,函数 $g(x)$ 单调递减,而\[g\left(-\dfrac 32\right)>0>g(-1),\]于是该方程有一实数解.

情形三    当 $-1<x<-\dfrac 12$ 时,函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=2x{\rm e}^{1+x^2}-8\pi\sin(\pi x),\]二阶导函数\[g''(x)=2{\rm e}^{1+x^2}(1+2x^2)-8\pi^2\sin(\pi x)>0,\]因此 $g(x)$ 先单调递减再单调递增,又\[g\left(-\dfrac 12\right)>0,\]于是该方程有一实数解. [[case]]情形四[[/case]] $\dfrac 12\leqslant x\leqslant 0$ 时,有\[\dfrac 18{\rm e}^{1+x^2}>0\geqslant -\cos(\pi x),\]于是方程无解. 综上所述,函数 $g(x)$ 零点共有 $4$ 个,均位于区间 $\left(-\dfrac 32,\dfrac 32\right)$,因此 $f(x)$ 的所有零点之和\[M=\dfrac 32\cdot 4=6.\]

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