每日一题[1228]三脚架君

已知正四面体 $P-ABC$ 中,$D,E,F$ 分别在棱 $PA,PB,PC$ 上,若 $PE\ne PF$,且 $DE=DF=\sqrt 7$,$EF=2$,则四面体 $P-DEF$ 的体积为[[nn]].

答案    $\dfrac{\sqrt{17}}8$

解析    设 $PD=x$,$PE=y$,$PF=z$,且 $y>z$,则根据余弦定理,有\[\begin{cases} x^2+y^2-xy=7,\\ y^2+z^2-yz=4,\\ z^2+x^2-zx=7,\end{cases}\]第一、三式相减,可得\[x=y+z,\]于是\[\begin{cases} y^2+yz+z^2=7,\\ y^2-yz+z^2=4,\end{cases}\]从而\[\begin{cases} yz=\dfrac 32,\\ y+z=\sqrt{\dfrac{17}2},\end{cases}\]因此所求四面体 $P-DEF$ 的体积\[V=\dfrac{\sqrt 2}{12}\cdot xyz=\dfrac{\sqrt 2}{12}\cdot \dfrac 32\cdot \sqrt{\dfrac{17}2}=\dfrac{\sqrt{17}}8.\]

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