每日一题[1232]调和分割

过椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)外一点 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$,切点分别为 $A,B$.过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M,N$,过 $M$ 作 $PB$ 的平行线与直线 $AB,NB$ 分别交于 $S,T$,求证:$SM=ST$.

解析    对 $\triangle MTN$ 和截线 $SBQ$ 应用梅涅劳斯定理可得\[\dfrac{MS}{ST}\cdot \dfrac{TB}{BN}\cdot \dfrac{NQ}{QM}=1,\]又\[MT\parallel PB\Rightarrow \dfrac{TB}{BN}=\dfrac{PM}{PN},\]因此\[\dfrac{MS}{ST}=\dfrac{PN\cdot QM}{PM\cdot NQ},\]根据椭圆的调和分割性质,原命题得证.

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