每日一题[1223]内心表达

已知点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心,且 $AB=3$,$AC=\sqrt{13}$,$\angle ABC=60^\circ$,则 $\overrightarrow {AI}\cdot \overrightarrow{BC}=$ _______.

答案    $8-2\sqrt{13}$.

解析    根据余弦定理,有\[AC^2=BA^2+BC^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos \angle ABC,\]于是\[13=9+BC^2-3\cdot BC,\]解得\[BC=4.\]于是由三角形内心的向量表达,可得\[4\overrightarrow {IA}+\sqrt{13}\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\]利用换底公式整理可得\[\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC},\]于是\[\begin{split} \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow {BI}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\ &=\left(\dfrac{4}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\ &=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\ &=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}}\cdot 6+\dfrac{3}{7+\sqrt{13}}\cdot 16\\ &=8-2\sqrt{13}.\end{split}\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论