每日一题[1230]极值点偏移

已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 与 $g(x)=\dfrac{k}{x^2}$ 图象的两个不同的交点，则 $f(x_1+x_2)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$

B．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},\dfrac{1}{\rm e}\right)$

C．$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$

D．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$

答案    D．

解析    不妨设 $x_1<x_2$．根据题意，$x_1,x_2$ 函数 $h(x)=x\ln x$ 与直线 $y=k$ 的两个公共点的横坐标，于是\[x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=k,\]且\[0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}<x_2<1,\]其中 $k\in\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$．

上界    构造函数\[\varphi(x)=\dfrac{x\ln x}{x(x-1)},\]则\[\varphi'(x)=\dfrac{\ln\dfrac 1x+1-\dfrac 1x}{(x-1)^2}\leqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递减，则\[\dfrac{x_1\ln x_1}{x_1^2-x_1}>\dfrac{x_2\ln x_2}{x_2^2-x_2},\]从而\[x_1^2-x_1>x_2^2-x_2,\]也即\[(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)>0,\]因此\[x_1+x_2<1.\]

下界    构造函数\[\mu (x)=x\ln x-\left(\dfrac 2{\rm e}-x\right)\ln\left(\dfrac 2{\rm e}-x\right),x\in\left(0,\dfrac{2}{\rm e}\right),\]则函数 $\mu (x)$ 的导函数\[\mu'(x)=\ln({\rm e}x(2-{\rm e}x))<0,\]于是\[f(x_2)=f(x_1)>f\left(\dfrac{2}{\rm e}-x_1\right),\]又函数 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{1}{\rm e},1\right)$ 上单调递增，于是\[x_2>\dfrac{2}{\rm e}-x_1,\]即\[x_1+x_2>\dfrac{2}{\rm e}.\] 考虑到当 $k\to -\dfrac{1}{\rm e}$ 时，$x_1+x_2\to \dfrac{2}{\rm e}$；当 $k\to 0$ 时，$x_1+x_2\to 1$；结合连续性可知 $x_1+x_2$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{2}{\rm e},1\right)$，而函数 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{2}{\rm e},1\right)$ 上单调递增，因此所求的取值范围是 $\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$．