每日一题[1225]曲径通幽

如图,一个无盖圆台容器的上、下底面半径分别为 $1$ 和 $2$,高为 $\sqrt 3$,四边形 $ABCD$ 是经过轴的截面,$AD,BC$ 是圆台的两条母线,一只蚂蚁从 $A$ 处沿容器侧面(含边沿线)爬到 $C$ 处,最短路程等于(       )

A.$2\sqrt 5$

B.$\pi+2$

C.$\dfrac{\pi}3+2\sqrt 3$

D.$\dfrac{4\pi}3+2\sqrt 3$

答案    C.

解析    如图,将圆台补为圆锥,设圆锥的顶点为 $O$,则 $OC=2$,于是圆台的侧面展开图为内径为 $2$,外径为 $4$,圆心角为 $180^\circ$ 的扇环.

将圆台的侧面从 $CB$ 开始展开到 $EF$,设 $A_1$ 为 $A$ 在展开图中的位置,则 $A_1C$ 有一部分不在扇环上,因此蚂蚁必然先到达上底面的某点 $P$,然后再沿边沿线到达 $C$.设 $P$ 在展开图中的位置为 $Q$,且 $\angle A_1OQ=\theta$,其中 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$,则此时的蚂蚁行进的最短路程为\[\begin{split} A_1Q+\overparen{QC}&=\sqrt{OA_1^2+OQ^2-2\cdot OA_1\cdot OQ\cdot \cos\theta}+OC\cdot \left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)\\ &=\sqrt{20-16\cos\theta}-2\theta+\pi,\end{split}\]设\[f(x)=\sqrt{20-16\cos x}-2x+\pi,\]则其导函数\[f'(x)=\dfrac{8\sin x}{\sqrt{20-16\cos x}}-2.\]解方程\[\dfrac{8\sin x}{\sqrt{20-16\cos x}}-2=0,\]即\[4(1-\cos^2x)=5-4\cos x,\]可得\[\cos x=\dfrac 12,\]于是 $f(x)$ 的极小值,亦为最小值为\[f\left(\dfrac{\pi}3\right)=2\sqrt 3+\dfrac{\pi}3.\]

备注    所求得的路径最短的证明: 考虑到 $A_1Q$ 是内圆的切线,设从 $A_1$ 到 $C$ 的路径与 $A_1Q$ 的延长线交于 $Q'$,则从 $A_1$ 到 $Q'$ 的路径最短为 $A_1Q'$,从 $Q'$ 到 $C$ 的最短距离为 $Q'C$,考虑 $QQ'C$ 是弧 $QC$ 外的折线,于是其长度大于弧 $OC$,因此所求得的路径最短.

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