已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则 $a^2+2b^2+3c^2$ 的最小值是_______．
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每日一题[1242]上下限
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：对任意正整数 $n$，有 $a_n<5$；
2、求证：存在正整数 $m$，使得 $a_m>4$．
每日一题[1241]完全平方数
设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$，求证在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中可以找到两个不同的元素 $a,b$，使得 $ab-1$ 不是完全平方数．
每日一题[1239]两面夹击
已知函数 $f(x)=|x\ln x|+ax$，$a\in\mathbb R$．
1、若 $f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac 12f(1)$，求 $a$ 的值；
2、定义在 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 上的函数 $g(x)=f(x)-ax-m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求实数 $m$ 的取值范围，并证明 $x_1+x_2+m<2{\rm e}^{-\frac 12}+1$．
每日一题[1238]对影成三人
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 ${\rm C}_ {4n+1}^1+{\rm C}_ {4n+1}^5+{\rm C}_ {4n+1}^9+\cdots+{\rm C}_ {4n+1}^{4n+1}=$ _______．
每日一题[1237]错位裂项
已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$（$a>0$）．
1、当 $x>1$ 时，$f(x)<0$，求实数 $a$ 的取值范围；
2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$，证明：$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$．
每日一题[1236]狐假虎威
已知 $a,b>0$，且 $a+b\geqslant 3$，则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______．
每日一题[1235]分析端点
已知对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．
每日一题[1234]化椭为圆
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$，$A,B$ 是椭圆上两点，且 $A$ 在第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 的面积记为 $S$．
1、若点 $A$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$，求 $S$ 的最大值；
2、设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，且 $3y_1+y_2=0$，求当 $S$ 取得最大值时，直线 $AB$ 的方程．