若三角形 \(ABC\) 的三个内角 \(A,B,C\) 所对的边分别为 \(a,b,c\)，且满足 \(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{b+c}=b\)，则 \(B=\)_______．
已知实数 \(a,b,c\) 满足不等式 \(|a|\geqslant |b+c|\)，\(|b|\geqslant |c+a|\)，\(|c|\geqslant |a+b|\)，求证：\(a+b+c=0\)．
已知函数 $f(x)=x^2-|ax+1|$，若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是__________．
已知 $a,b$ 是正整数，且 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}$ 也是正整数，求所有符合题意的 $(a,b)$．
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足对任意正整数 \(n\in\mathbb N^{\ast}\)，都有 \(a_n>0\) 且 \(a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2\)．
（1）求证：\(a_{n+2}<a_{n+1}<2\)；
（2）求证：\(a_n>1\)．
1．设函数$f(x)=ax+\sin x+\cos x$，若函数$f(x)$的图象上存在不同的两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$使得函数$y=f(x)$在点$A,B$处的切线互相垂直，则实数$a$的取值范围为_______．
已知集合 $$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集．
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$，并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$；
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集，设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$，求证：任意 $x,y\in T\cup T'$，$x>y$，都有 $x-y\notin T\cup T'$；
(3)求证：对任意正整数 $n\geqslant 2$，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$．
过点 \(A(-4,0)\) 向椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 引两条切线，切点分别为 \(B,C\)，若 \(\triangle ABC\) 为正三角形，则当 \(ab\) 最大时，椭圆的方程是____________．
如图，在 \(\triangle AOB\) 中，\(\angle AOB=90^\circ\)，\(OA=1\)，\(OB=\sqrt 3\)，等边 \(\triangle EFG\) 的三个顶点分别在 \(\triangle AOB\) 的三边上运动，则 \(\triangle EFG\) 边长的最小值为（ ）
A．\(\dfrac12\)
B．\(\dfrac 23\)
C．\(\dfrac{\sqrt{21}}7\)
D．\(\dfrac{\sqrt 6}4\)
