设有 $10$ 个相同的红球和 $10$ 个相同的白球，从中任取 $10$ 个球排成一排，但红球不能相邻，则不同的排列方法数为_______．
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每日一题[1301]唯一最值点
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}3\right)$ 在 $(0,2]$ 上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 $\omega$ 的取值范围是_______．
每日一题[1300]差分出规律
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=a_3=k$，$a_{n+1}=\dfrac{k+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）其中 $k>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=\dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}$（$n=1,2,3,\cdots$）．
1、求 $b_1,b_2,b_3,b_4$．
2、求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式．
3、是否存在正数 $k$，使得数列 $\{a_n\}$ 的每一项均为整数？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出所有的 $k$．
每日一题[1299]根轴
已知直线 $l:y=x+t$ 和圆 $C:x^2+(y-2)^2=8$，若存在定点 $M$，使得从 $l$ 上任意一点 $P$ 引圆 $C$ 的一条切线 $PQ$（$Q$ 为切点），均有 $|PQ|=|PM|$，则实数 $t$ 的取值范围是_______．
每日一题[1298]近似函数
若定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$ 与不同于 $f(x)$ 的函数 $g(x)$ 在 $x=\xi$ 处满足满足\[\begin{split} f(\xi)&=g(\xi),\\ f'(\xi)&=g'(\xi),\\ &\cdots,\\ f^{(k)}(\xi)&=g^{(k)}(\xi),\end{split}\]则称 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶近似函数，其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$，$f^{(k)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数．例如：函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线为 $y=g(x)$，则 $g(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个 $1$ 阶近似函数．
1、写出函数 $f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 处的一个 $2$ 阶近似函数．
2、若函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=ax+\dfrac bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 $2$ 阶近似函数？
3、若函数 $f(x)=\ln (x+1)$，$g(x)=\dfrac{ax}{x+b}$，$a,b\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $2$ 阶近似函数？
每日一题[1297]整数复整数
已知 $n\in\mathbb N$，求证：$\dfrac {n^5}5+\dfrac{n^3}3+\dfrac{7n}{15}$ 是整数．
每日一题[1296]数列分拆
已知数列 $\{a_n\}$ 是 $12,1122,111222,\cdots,\underbrace{11\cdots 1}_n\underbrace{22\cdots 2}_n$，试问 $\{a_n\}$ 中的任何一项是不是均能表示为两个相邻正整数的乘积．
每日一题[1295]局部等差数列
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n}=a_{n-1}+a_{\left[\frac n2\right]}$（$n\geqslant 2$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个 $7$ 的倍数．
每日一题[1294]论证与构造
已知无穷正实数数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_{i+1}<x_i$（$i=0,1,2,\cdots$）．
1、求证：对任意符合题意的数列 $\{x_n\}$，均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant 3.999$．
2、求证：存在符合题意的 $\{x_n\}$ 使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}<4$．