已知数列 $\{a_n\}$ 是 $12,1122,111222,\cdots,\underbrace{11\cdots 1}_n\underbrace{22\cdots 2}_n$，试问 $\{a_n\}$ 中的任何一项是不是均能表示为两个相邻正整数的乘积．
解析 注意到\[\begin{split} a_1&=12=3\cdot 4,\\ a_2&=1122=33\cdot 34,\\ a_3&=111222=333\cdot 334,\end{split}\]可以猜测\[a_n=\underbrace{33\cdots 3}_n\cdot \left(\underbrace{33\cdots 3}_n+1\right),\]证明如下．记 $\underbrace{11\cdots 1}_n=x_n$，则\[a_n=x_n\cdot (10^n+2),\]而\[\underbrace{33\cdots 3}_n\cdot \left(\underbrace{33\cdots 3}_n+1\right)=3x_n\cdot (3x_n+1),\]于是只需要证明\[9x_n+3=10^n+2,\]也即\[x_n=\dfrac{10^n-1}{9},\]这显然成立，于是数列 $\{a_n\}$ 中的任何一项均能表示为两个相邻正整数的乘积．